三线合一的几何语言

更新时间： 2024-05-27 10:47:59

1)三线合一的几何语言

三线合一的几何语言：指三角形顶角角平分线，底边上的高，以及底边的中线重合，即三条线段合为一条。如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

三线合一的应用。

1、∵AB=AC,BD=DC=1/2BC

∴AD⊥BD,AD平分∠BAC

2、∵AB=AC,AD⊥BC

∴BD=DC=1/2BC,AD平分∠BAC

3、∵AB=AC,AD平分∠BAC

∴AD⊥BD,BD=DC=1/2BC

三线合一，即在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）。同时，“三线合一”又是一种判定等腰三角形的方法。

已知：△ABC为等腰三角形，AB=AC,AD为中线。求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD

在△ABD和△ACD中：

BD=DC（等腰三角形的中线平分对应的边）

AB=AC(等腰三角形的性质)

AD=AD（公共边）

∴△ADB≌△ADC（SSS）

可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC(全等三角形对应角相等）

∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证），且∠BDC=180°（平角定义）

∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代换）

∴AD⊥BC

得证

在等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。

逆定理：

如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形；如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形；如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。

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